TEOREMA DEL RESTO Y TEOREMA DEL FACTOR

El día 29-10-2015 la toco exponer a Laura del Canto dos teoremas muy importantes que son:


1) TEOREMA DEL RESTO:


El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

A continuación para que nos quedara clara la explicación , realizamos un ejercicio:

1) Obtener el resto de la siguiente división entera pero sin hacerla.

2) TEOREMA DEL FACTOR:


El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Hay 4 maneras de representar y nombrar este teorema:

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: X - a divide a p(x)





DEMOSTRACIÓN:

DIVISIÓN MEDIANTE RUFFINI

He decidido repasar un poco la división mediante el método de ruffini porque no me acuerdo muy bien del procedimiento a seguir:


REGLA DE RUFFINI:


Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

Por si os interesa leer un poco más sobre este matemático que también fue médico os dejo un enlaze con una breve biografía suya.

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/ruffini.htm

• Voy a repasar la regla de ruffini con varios ejemplos que es como mejor lo veo:

EJEMPLO 1:

A = 10 x² - 5 - 3x⁴ + 2x³
B = x + 2 

A:B = (10x² - 5 - 3x⁴ + 2x³) : (x + 2) =


1) Polinomio A ordenado y completo: -3x⁴ + 2x³ + 10x² + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2 

 

Cociente = -3x³ + 8x² - 6x + 12

Resto: -29


¡NOTA!

Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini,  se ponen los coeficientes de dividendo-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda un número positivo). 
Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).







EJEMPLO 2:

 (El dividendo A no tiene término independiente)

A = -4x⁴ + 30x + x⁵
B = x - 3

A : B = (-4x⁴ + x⁵ + 30x)  :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x⁵ - 4x⁴ + 0x³ + 0x² + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3 

 

Cociente =  x⁴ - x³ - 3x² - 9x + 3

Resto: 9


¡NOTA!



Si no hay término independiente en el dividendo, hay que completarlo con "0", tal como se completan los otros grados intermedios. El coeficiente de la x⁵ es 1, pues x⁵ es igual a 1.x⁵. En el resultado también quedaron coeficientes "1" y "-1", pero luego en el Cociente no hace falta ponerlos.

CONCEPTO POLINOMIO

El dia 26-10-2015 estuvimos recogiendo  el concepto COMPLETO de polinomio .


Polinomio :

Expresión algebraica de la forma:

La fórmula debe seguir dos condiciones   muy importantes:

Los polinomios se escriben de la siguientes manera dependiendo de en que  CONJUNTO se situe:

EJEMPLO DE POLINOMIOS:

Ejemplo	Coeficiente principal	Grado
	3	4
	1	8
	-5	2
8	8	0
	7	1

¡NOTA!
Polinomio nulo:

El Valor NÚMERICO de un polinomio:

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Voy a recordar un poco como se sabía si dos polinomios son iguales y si son semejantes:

Polinomios Iguales:

Dos polinomios son iguales si verifican:

1. Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Polinomios Semejantes:

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

RAIZ DE UN POLINOMIO P(X)

Son los valores que anulan el polinomio.

Ejemplo

Calcular las raíces del polinomio:

P(x) = x² − 5x + 6

P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x² − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0


A raiz de esto obtenemos LA FUNCIÓM POLINÓMICA:

¿CÓMO CALCULAR LAS RAICES DE UN 

              POLINOMIO?

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Con este ejemplo se ve más claro:

Q(x) = x² − x − 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 1² − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)² − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 2² − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0

Q(3) = 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

Las raíces son: x = −2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) · (x − 3)

OPERACIONES CON POLINOMIOS

En esta entrada voy a repasar las operaciones entre polinomios con ejercicios y algo de teoría.

SUMA DE POLINOMIOS


Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
        P(x) = 2x³ + 5x − 3
       Q(x) = 4x − 3x² + 2x³






1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.
       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
       P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
2.Agrupamos los monomios del mismo grado.
       P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3
3.Sumamos los monomios semejantes.
       P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

RESTA DE POLINOMIOS:

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3
P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:


1.Un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y comocoeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2.Un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x<sup>2

3.Multiplicación de polinomios.</sup>

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
p(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.


DIVISIÓN DE POLINOMIOS:


P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completodejamos huecos en los lugares que correspondan.



A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:



Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²




Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x




Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8



10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.