El Problema Del Carcelero

ENUNCIADO:

• En una cárcel hay 100 celdas numeradas del 1 al 100.
• El carcelero primero recorre todas las celdas  y las va abriendo una a una.
• Una vez hecho esto, empieza de buevo y cierra todas las pares.Es decir, cierra la 2, 4 ,6 ...etc , hasta que llega a la número 100 .Quedan abiertas, hasta el momento , las celdas impares : 1,3,5,7,...,97,99.
• Luego vuelve hasta la número tres y va saltando de tres en tres cambiando el estado de las celdas (de tal forma que si están abiertas las cierra y si están cerradas las abre)
• Una vez que llega a la número 99 vuelve a la celda numero 4 y repite el mismo proceso pero ahora de cuatro en cuatro.
• Cuando llega a la 100, va hasta la número 5 .Y como hizo antes, empieza el recorrido nuevamente , saltando ahora de cinco en cinco.Cuando llega a la 100, va hasta la número 5. Y como hizo antes, empieza el recorrido nuevamente, saltando ahora de cinco en cinco.
• El carcelro continúa con este proceso hasta agotar todas las posibilidades y llegar a la vuelta número 100, cuando debería empezar a dar saltos de cien en cien.

Y la pregunta es : ¿Qué puertas quedarán abiertas al terminar todos los procesos?


SOLUCION:


Lo primero que hice fue una pequeña muestra de que celdas quedaran abiertas pero en vez de en un rango tan grande como son 100 celdas en uno mas pequeño como por ejemplo diez y así me quedo:


       

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1º	A	A	A	A	A	A	A	A	A	A
2º		C		C		C		C		C
3º			C			A			C
4º				A				A
5º					C					A
6º						C
7º							C
8º								C
9º									A
10º										C

              QUEDAN ABIERTAS LA 4    Y LA   9 

Me doy cuenta de que la celda numero 4 y la numero 9 son las únicas por las que el carcelero ha pasado un número impar de veces ( tres veces) a diferencia de las otras en las que el carcelero pasa siempre un numero par de veces.

9= 1.3.3    9 tiene 3 divisores = número de veces que pasa el carcelero por esa celda.
17=1.17    17 tiene 2 divisores al ser numero primo = el carcelero pasa 2 veces (número par) por esta                           celda =>La celda queda cerrada

• Una celda quedará abierta siempre y cuando el número de sus divisores sea impar.

CONCLUSION:

Los únicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados.
Por ejemplo , el número 1 es cuadrado , ya que :

1=1²

El número 4 es un cuadrado porque 4 = 2²

El número 9 es un cuadrado porque 9 = 3²

Y así siguiendo , los número que son cuadrados entre el 1 y 100 son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100